ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 111376
УсловиеВ правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания ABCD равна a , высота равна 2a . Через вершину A параллельно диагонали BD основания проведена плоскость так, что угол между прямой AB и этой плоскостью равен 30o . Найдите площадь сеченияРешениеПусть SH = 2a – высота пирамиды, O – точка пересечения секущей плоскости с высотой SH . Плоскость SDB проведена через прямую BD , параллельную секущей плоскости, и пересекает эту плоскость, по некоторой прямой l , проходящей через точку O , значит, прямая l параллельна диагонали BD основания. Пусть прямая l пересекает боковые рёбра SD и SB в точках M и K соответственно, а прямая AO пересекает боковое ребро SC в точке L . Тогда четырёхугольник AMLK – сечение, о котором говорится в условии задачи. Поскольку прямая BD параллелльна секущей плоскости, все точки этой прямой удалены от секущей плоскости на одно и то же расстояние, поэтому длина перпендикуляра, опущенного из точки B на секущую плоскость, равна длине перпендикуляра HP , опущенного из точки H на прямую AL . Обозначим OH=x . Из прямоугольного треугольника AHO находим, чтоТогда По условию задачи = sin 30o = , или = , откуда x= . Тогда Пусть N – ортогональная проекция точки L на плоскость основания. Тогда L лежит на диагонали AC основания. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью ASC . Через вершину S проведём прямую, параллельную AC , и продолжим AL до пересечения с этой прямой в точке T . Из подобия треугольников SOT и HOA следует, что ST = AH· = , а из подобия треугольников SLT и CLA – Значит, По теореме о трёх перпендикулярах AL BD , значит, AL MK . Следовательно, Ответ.Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|