ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111329
Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки K и M соответственно так, что  KM || AC.  Отрезки AM и KC пересекаются в точке O. Известно, что  AK = AO  и  KM = MC.  Докажите, что  AM = KB.


Решение

  Пусть  ∠AKO = ∠AOK = ∠MOC = α,  ∠MKC = ∠MCK = ∠ACO = β  (рис. слева). Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. В треугольниках KCA и OCM две пары соответственно равных углов, поэтому и третьи углы равны:  ∠CAK = ∠CMO = ∠AMC.  Заметим, что  ∠MKB = ∠CAK  и  ∠ACM = ∠KMB.  Значит, треугольники AMC и BKM равны по стороне и двум углам. Следовательно,  AM = KB.

       

  Второй способ. Лучи CA и CB симметричны относительно биссектрисы CK угла C. Значит, точка D, симметричная B относительно этой биссектрисы, лежит на луче CA (рис. справа).  ∠KAM = ∠KAO = 180° – 2α,  ∠DKA = ∠DKC – α = ∠BKC – α = 180° – 2α.  Следовательно,  DK || AM.  Значит, DKMA – параллелограмм и  BM = DK = AM.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 71
Год 2008
вариант
Класс 8
задача
Номер 3
web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4671

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .