Задача 111046

Темы:    [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На окружности взята точка A , на диаметре BC — точки D и E , а на его продолжении за точку B — точка F . Найдите BC , если BAD = ACD , BAF = CAE , BD=2 , BE=5 и BF=4 .

Решение

Обозначим BAD = ACD = α , BAF = CAE= β . Поскольку точка A лежит на окружности с диаметром BC , то BAC = 90^o . Поэтому

ADC = 180^o - ACD - CAD = 180^o - α - (90^o-α) = 90^o,

FAE = FAB + BAE = β + (90^o-β)= 90^o.
Тогда AD — общая высота прямоугольных треугольников BAC и FAE . По теореме о высоте прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла,
FD· DE = AD2 = BD· DC.
Обозначив EC = x , получим уравнение
(4+2)3 = 2(3+x),
из которого находим, что x = 6 . Следовательно,
BC = BE + EC = 5+6 = 11.

Ответ

11.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4401