ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110920
Темы:    [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 2+
Классы: 6,7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

У Пети в кармане несколько монет. Если Петя наугад вытащит из кармана 3 монеты, среди них обязательно найдётся монета "1 рубль". Если Петя наугад вытащит 4 монеты из кармана, среди них обязательно найдётся монета "2 рубля". Петя вытащил из кармана 5 монет. Назовите эти монеты.

Решение

Раз среди любых трёх монет обязательно найдётся монета "1 рубль", значит монет другого достоинства не больше двух. То есть все Петины монеты, кроме возможно двух,– это монеты "1 рубль". Раз среди любых четырёх монет обязательно найдётся монета "2 рубля", значит монет, отличных от "2 рублей", не больше трёх. То есть все Петины монеты, кроме возможно трёх,– это монеты "2 рубля". Следовательно, среди вытащенных 5 монет обязательно есть 3 монеты "1 рубль" (других монет может быть не больше двух) и 2 монеты "2 рубля" (других монет может быть не больше трёх). Но 2+3=5 , то есть на самом деле все монеты названы: три рублёвые и две двухрублёвые. Заметим, что мы определили (в условии задачи этого не требовалось), сколько каких монет всего лежало в кармане у Пети: это как раз и есть 5 названных монет. Действительно, такой набор монет в кармане обязательно должен присутствовать (раз Петя этот набор вытащил). Сдругой стороны, добавление к этому набору любой другой монеты ("1 рубль", "2 рубля" или ещё какой-нибудь) даёт возможность вытащить из кармана набор из 5 монет не такой, как было найдено (заменив "дополнительной" монетой одну из не совпадающих с ней монет "правильного" набора). Поэтому никаких других монет, кроме пяти названных, у Пети в кармане по условиям задачи быть не может.

Ответ

"1 рубль", "1 рубль", "1 рубль", "2 рубля", "2 рубля".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Название конкурс по математике
Год 2007
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .