Задача 110826

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведена медиана CD. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD, если  BC = 4,  а радиус описанной окружности треугольника ABC, равен ⁵/₂.

Решение

  Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, поэтому  AB = 5.  По теореме Пифагора  AC = 3.
  Пусть O₁ и O₂ – центры окружностей, а R и r – радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD соответственно. Тогда
R = ^2S_ADC/_AC+AD+CD = ^S_ABC/_AC+AD+CD = ³/₄,  r = ^S_ABC/_BC+BD+CD = ⅔,  DO₁ = ½ BC – R = ⁵/₄,  DO₂ = ½ AC – r = ⅚,  

Ответ

.

Замечания

Ср. с задачей 54230.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5779