Задача 54230

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Катет прямоугольного треугольника равен 2, а противолежащий ему угол равен 30°. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники, на которые данный треугольник делится медианой, проведённой из вершины прямого угла.

Решение

  Пусть M – середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC,  ∠A = 30°,  O₁ и O₂ – центры окружностей, вписанных в треугольники AMC и BMC соответственно. Тогда  AB = 2BC = 4,  CM = AM = BM = 2,  

  Треугольник BCM – равносторонний, поэтому  
  Треугольник ACM – равнобедренный, поэтому точка Q касания его вписанной окружности со стороной AC – середина AC,  MQ = ½ AM = 1,    
  Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому MO₁ и MO₂ – биссектрисы смежных углов BMC и AMC, а
∠O₁MO₂ = 90°.  По теореме Пифагора  

Ответ

2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1993