Задача 110521

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Площадь сечения ] [ Площадь и ортогональная проекция ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Апофема правильной пирамиды SABCD равна 2, боковое ребро образует с основанием ABCD угол, равный arctg . Точки E , F , K выбраны соответственно на рёбрах AB , AD , SC так, что = = = . Найдите: 1) площадь сечения пирамиды плоскостью EFK ; 2) расстояние от точки D до плоскости EFK ; 3) угол между прямой SD и плоскостью EFK .

Решение

1) Пусть прямая EF пересекает продолжения рёбер BC и CD в точках P и Q соответственно, прямая KP пересекает ребро SB в точке L , а прямая KQ пересекает ребро SD в точке M (рис.1). Тогда пятиугольник EFMKL – сечение о котором говорится в условии задачи. Обозначим через a сторону квадрата ABCD . Поскольку AE=AF = , треугольник EAF – равнобедренный и прямоугольный. Тогда DQ = DF = a . Через вершину S проведём прямую, параллельную CD , и продолжим QK до пересечения с этой прямой в точке T (рис.2). Из подобия треугольников SKT и CKQ следует, что

ST = CQ· = (CD+DQ)· = (a+a)= a,
а из подобия треугольников SMT и DMQ –
= = = .
Аналогично докажем, что = . Пусть H , M' , K' , L' – ортогональные проекции точек соответственно S , M , K и L на плоскость основания пирамиды. Точки M' , K' и L' лежат на отрезках DH , CH и BH , причём
= = , = = , = = ,
а SH – высота пирамиды SABCD . Найдём площадь пятиугольника EFM'K'L' – ортогональной проекции нашего сечения на плоскость основания пирамиды (рис.3). Этот пятиугольник состоит из равнобедренной трапеции EFM'L' с основаниями
EF= BD = , M'L' = BD = ,
высотой GH = AC = и равнобедренного треугольника M'K'L' с основанием L'M' = и высотой K'H = AC = . Поэтому
S_EFM'K'L' = S_EFM'L' + S_{Δ M'K'L'} = (EF+M'L')· GH + M'L'· K'H =

=(+)· + · · =a2.
Пусть R – середина CD . Из прямоугольных треугольников SHC и SHR находим, что
SH = CH tg SCH = · = ,

4 = SR2 = SH2+HR2 = a2+a2 = a2,
откуда a=2 . Тогда
S_EFM'K'L' = a2= , SH = =, K'G = = .
Из подобия треугольников KK'C и SHC находим, что
KK'=SH· = · = .
Так как CG PQ и KG PQ , то KGK' – линейный угол двугранного угла между плоскостями сечения и основания пирамиды. Обозначим KGK' = ϕ . Тогда
tg ϕ = = = , cos ϕ = = = .
Следовательно,
S_EFMKL = = = .
2) Прямая BD параллельна прямой EF , лежащей в секущей плоскости, значит, прямая BD параллельна секущей плоскости, поэтому все её точки равноудалены от этой плоскости. Из точки H , лежащей на прямой BD , опустим перпендикуляр HW на прямую GK . Тогда HW – перпендикуляр к плоскости EFK . Из прямоугольного треугольника GWH находим, что
HW = GH· sin ϕ = · tg ϕ cos ϕ= · · =.
Следовательно, расстояние от точки D до плоскости EKF также равно . 3) Из прямоугольного треугольника SRD находим, что
SD= = =.
Тогда DM = SD = . Синус угла между наклонной DM и плоскостью сечения равен отношению расстояния от точки D до этой плоскости к длине наклонной DM , т.е.
= =.

Ответ

; ; arcsin .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8719