Задача 110513

Темы:    [ Объем помогает решить задачу ] [ Расстояние между скрещивающимися прямыми ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Сторона основания ABC правильной пирамиды ABCD равна 4 , DAB = arctg Точки A1 , B1 , C1 – середины рёбер AD , BD , CD соответственно. Найдите: 1) угол между прямыми BA1 и AC1 ; 2) расстояние между прямыми BA1 и AC1 ; 3) радиус сферы, касающейся плоскости ABC и отрезков AC1 , BA1 и CB1

Решение

1) Пусть K – середина AB . Из прямоугольного треугольника ADK находим, что

AD = = AK = 2· = 4.
По формуле для медианы треугольника
BA12 = (2BD2+2AB2-AD2) = (2· 160+ 2· 48 - 160) = 64,
значит, BC1 = AC1=BA1 = 8 . Пусть M – середина отрезка DC1 . Тогда A1M – средняя линия треугольника ADC1 , значит, A1M=AC1 = 4 , а т.к. A1M || AC1 , то угол между скрещивающимися прямыми BA1 и AC1 равен углу между пересекающимися прямыми BA1 и A1M . Из треугольника DBC1 по формуле для медианы находим, что
BM2 = (2BC12+2BD2-DC12) = (2· 64+ 2· 160 - 40) = 102.
По теореме косинусов
cos BA1M = = = -.
Пусть ϕ – искомый угол. Угол между прямыми не может быть больше 90^o , поэтому
cos ϕ = cos (180^o- BA1M) = - cos BA1M = ,

sin ϕ = = = .
2) Пусть DH – высота пирамиды ABCD , V – её объём. Тогда
AH = · = · = 4, DH = = = 12.

V = S_{Δ ABC}· DH = · · 12 = 48.
Рассмотрим тетраэдр ABCD с вершиной C и тетраэдр AC1BA1 с вершиной C1 . Высота тетраэдра AC1BA1 , проведённая из вершины C1 , вдвое меньше высоты тетраэдра ABCD , проведённой из вершины C , а S_{Δ ABA}1 = S_{Δ ABD} , поэтому
V_AC1BA1 = · V_ABCD = V = 12.
С другой стороны,
V_AC1BA1 = BA1· AC1· d· sin ϕ,
где d – искомое расстояние между прямыми BA1 и AC1 . Из уравнения
12 = · 8 · 8· d ·
находим, что d= . 3) Можно доказать, что центр O указанной сферы радиуса r лежит на высоте DH пирамиды и сфера касается плоскости основания в точке H . Если F – точка касания сферы с прямой BA1 , то BH = BF как отрезки касательных, проведённых к сфере из одной точки, а т.к. BH=AH = 4 , а BA1=8 , то BF = BA1 , т.е. F – середина BA1 . Обозначим ADH = α . Из прямоугольных треугольников ADH и A1OF находим, что
cos α = = = ,

OA12 = OF2+A1F2 = r2+16,
а т.к. DO = DH-OH = 12-r , то применяя теорему косинусов к треугольнику ODA1 , получим уравнение
r2+16 = 4· 10 + (12-r)2 - 2· 2· (12-r) · ,
из которого находим, что r=2 .

Ответ

arccos ; ; 2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8711