Задача 110510

Темы:    [ Объем помогает решить задачу ] [ Расстояние между скрещивающимися прямыми ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна 8, высота SO равна 3. Точка M – середина ребра SB , точка K – середина ребра BC . Найдите: 1) объём пирамиды AMSK ; 2) угол между прямыми AM и SK ; 3) расстояние между прямыми AM и SK .

Решение

1) Пусть V – объём пирамиды SABCD . Тогда

V=S_ABCD· SO = · 64· 3 = 64, V_SABC = V = 32.
Рассмотрим треугольную пирамиду SABC с вершиной B . Плоскость AMK отсекает от неё треугольную пирамиду AMSK с вершиной B , поэтому
V_AMSK = · · · V_SABC = · · · 32 = · 32 = 8.
2) Пусть P – середина отрезка BK . Тогда MP – средняя линия треугольника BKS , поэтому
MP = SK = = = ,
а т.к. MP || SK , то угол между прямыми AM и SK равен углу между прямыми AM и MP . Из прямоугольных треугольников ABP и SKB находим, что
AP2 = AB2+BP2 = 64+4 = 68, BS2 = SK2+BK2 = 25+16 = 41.
По формуле для медианы из равнобедренного треугольника ASB находим, что
AM = = = .
Обозначим AMP = ϕ . По теореме косинусов
cos ϕ = cos AMP = = = .
3) Воспользуемся формулой V=abc sin ϕ , где V – объём тетраэдра, a и b – длины двух его противоположных рёбер, c расстояние между этими рёбрами, ϕ – угол между ними. В нашем случае
V_AMSK=AM· SK· c· sin ϕ,
где c – искомое расстояние между прямыми AM и SK . Из уравнения
8 = · · 5· c ·
находим, что c= .

Ответ

8; arccos ; .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8707