Задача 110506

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сфера, вписанная в пирамиду ] [ Сфера, описанная около пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Расстояние от центра O шара радиуса 12, описанного около правильной четырёхугольной пирамиды, до бокового ребра равно 4 . Найдите: 1) высоту пирамиды; 2) расстояние от точки O до боковой грани пирамиды; 3) радиус вписанного в пирамиду шара.

Решение

1) Пусть ON – перпендикуляр, опущенный из центра O описанной сферы на боковое редро SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S (рис.1), SH – высота пирамиды. Поскольку SO – радиус описанной сферы, из прямоугольного треугольника SON находим, что

SN = = = 4 = 4.
Перпендикуляр, опущенный из центра сферы на хорду, делит её пополам, поэтому SC=2SN = 8 . Прямоугольные треугольники SHC и SNO подобны, значит, = , откуда
SH = SN· = 4· = .
2) Обозначим AB=BC=CD=AD=a . Тогда CH=AC = . Из прямоугольного треугольника SHC получаем, что CH = . Из уравнения = находим, что a= . Пусть OP – перпендикуляр, опущенный из точки O на медиану SM равнобедренного треугольника ASD . Так как прямая AD перпендикулярна пересекающимся прямым AD и SH плоскости SHM , то AD OP , значит, OP – перпендикуляр к плоскости боковой грани ASD . В прямоугольном треугольнике SHM известно, что
SH = , HM = = , SO = 12.
Тогда
SM = = = .
Из подобия прямоугольных треугольников SPO и SHM находим, что
OP = MH· = · = 3.
3) Пусть β – угол между боковой гранью пирамиды SABCD и плоскостью её основания. Поскольку пирамида правильная, центр Q её вписанного шара лежит на высоте SH , шар касается плоскости основания в точке H , а плоскостей боковых граней – в точках, лежащих на апофемах пирамиды. Проведём сечение через апофему SM и апофему SK , лежащую в грани BSC (рис.2). Получим равнобедренный треугольник MSK и вписанную в него окружность с центром Q радиуса r , равного радиусу сферы, вписанной в пирамиду. Поскольку SMH – линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью её основания, SMH = β . Из прямоугольного треугольника SMH находим, что
tg β = = =.
Применив формулу tg β = , получим уравнение
= ,
из которого находим, что tg = , а т.к. MO – биссектриса угла SMH , то из прямоугольного треугольника OHM находим, что
r=OH = MH tg = · = (2-1).

Ответ

; 3 ; (2-1) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8703