Условие
В четырёхугольной пирамиде
SABCD высоты боковых граней, опущенные из
вершины пирамиды
S , равны
. Известно, что
AB=2
,
BC=6
,
ABC = 
,
ADC = 
. Найдите
высоту пирамиды, если её основание находится внутри четырёхугольника
ABCD .
Решение
Пусть
SO – высота пирамиды,
K ,
L ,
M и
N – основания перпендикуляров,
опущенных из точки
O на стороны соответственно
AB ,
BC ,
CD и
AD основания (рис.1).
По теореме о трёх перпендикулярах
SK 
AB ,
SL BC ,
SM CD
и
SN AD . Прямоугольные треугольники
SOK ,
SOL ,
SOM и
SON равны по
катету и гипотенузе, поэтому
OK=OL=OM=ON , значит,
O – центр окружности, вписанной
в четырёхугольник
ABCD (точка
O лежит внутри четырёхугольника
ABCD ).
Обозначим
CD=x ,
AD=y (рис.2). По свойству описанного четырёхугольника
AB+CD=
AD+BC , т.е.
2
+x=y+6
. С другой стороны, по теореме косинусов из треугольников
ADC и
ABC находим, что
AC2= CD2+AD2-2CD· AD cos 120o,
AC2= AB2+BC2-2AB· BC cos 60o,
откуда
x2
+y2
+xy = 4
+36
-12
. Из системы
находим, что
CD= x=2
+2
,
AD=y=2
-2
.
Пусть
r – радиус вписанной окружности четырёхугольника
ABCD ,
p – полупериметр
четырёхугольника. Тогда
SABCD = pr , а т.к.
SABCD = SΔ ABC+SΔ ADC =
AB· BC sin 60o + AD· DC sin 120o=
=(AB· BC+AD· DC)· 
=
(2· 6 + (2-2)(2+2)) =
=(12 + 8-4) = 4
и
p=(2+6+(2+2)+(2-2) = 4+2,
то
OK = r=
= 
= (2-).
Из прямоугольного треугольника
SOK находим, что
SO = 
=
=2
.
Ответ
2
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8671 |
