Задача 110421

Темы:    [ Объем помогает решить задачу ] [ Прямоугольный тетраэдр ] [ Тетраэдр (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Боковые рёбра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны, а площади боковых граней равны S , P и Q . Найдите радиус вписанного шара. Найдите также радиус шара, касающегося основания и продолжений боковых граней пирамиды.

Решение

Пусть DA , DB и DC – боковые рёбра треугольной пирамиды ABCD с вершиной D , причём S_{Δ ADB} = S , S_{Δ ADC} = P , S_{Δ BDC} = S . Обозначим AD=a , BD=b , CD=c . Тогда

перемножив почленно два первых уравнения системы и разделив результат на третье, получим, что a= . Пусть S_{Δ ABC} = T . Докажем, что T2=S2+P2+Q2 . Для этого опустим перпендикуляр DF из вершины D на ребро BC . Ребро AD перпендикулярно плоскости грани BCD , так как AD BD и AD CD по условию задачи. Тогда прямая BC перпендикулярна плоскости ADF , значит AF BC , т.е. AF – высота треугольника ABC . Из прямоугольных треугольников BDC и ADF находим, что
DF = = = ,

AF = = = .
Значит,
T = S_{Δ ABC} = BC· AF = · =

= = = .
Следовательно, T2=S2+P2+Q2 . Что и требовалось доказать. Пусть r – радиус вписанного в пирамиду ABCD шара, S_полн. – площадь полной поверхности пирамиды (в нашем случае S_полн.=T+S+P+Q ). Известно, что
V=S_полн.r = (T+S+P+Q)r,
В то же время,
V = S_{Δ BDC}· AD = Q· a = Q· = .
Из уравнения
(T+S+P+Q)r =
находим, что
r= = .
Пусть теперь r_d – радиус шара, касающегося основания ABC и и продолжений боковых граней ADB , ADC и BDC пирамиды ABCD . Тогда
V= (S_{Δ ADB}+S_{Δ ADC}+S_{Δ BDC}-S_{Δ ABC})r_d= (S+P+Q-T)r_d.
Из уравнения
(S+P+Q-T)r_d =
находим, что
r_d= = .

Ответ

; .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8607