Задача 110330

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сфера, описанная около пирамиды ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём правильной треугольной пирамиды с радиусом R описанной сферы и углом γ между боковыми гранями.

Решение

Пусть O – центр сферы радиуса R , описанной около правильной треугольной пирамиды ABCD с вершиной D (рис.1). Точка O лежит на прямой DM , где M – центр основания ABC . По условию задачи OA = R . Пусть F – основание перпендикуляра, опущенного из вершины B основания боковое ребро AD , K – середина стороны BC основания. Так как прямая AK – ортогональная проекция наклонной AD на плоскость основания и AK BC , то по теореме о трёх перпендикулярах AD BC . Значит, прямая AD перпендикулярна двум пересекающимся прямым BC и BF плоскости BFC . Поэтому AD – перпендикуляр к плоскости BFC , а BFC – линейный угол двугранного угла между боковыми гранями ABD и ACD . По условию задачи BFC = γ . Обозначим DAM = α , AB = BC = AC = a . Тогда AM = . Из прямоугольного треугольника BKF находим, что

KF = BK ctg BFK = · ctg = .
Из прямоугольного треугольника AFK находим, что
sin DAM = sin α = = = .
Далее находим:
cos α = = = ,

tg α = = = .
Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки A , D и M (рис.2). Получим окружность радиуса R с центром O на прямой MD . Продолжим отрезок DM за точку M до пересечения с окружностью в точке P . Из прямоугольных треугольников AMD и APD находим, что
DM = AM tg DAM = ,

AM2 = DM· MP, или = (2R - ),
откуда
a = = 2R tg α cos2α = 2R sin α cos α =

= 2R· · = .
Следовательно,
V_ABCD = S_{Δ ABC}· DM = · · = a3 tg α =

=· ()3 · =

=· · R3 ctg4 (3- ctg2 )= R3 ctg4 (3 - ctg2 ).

Ответ

R3 ctg4 (3 - ctg2 )= .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8513