ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110215
Темы:    [ Неравенство Коши ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Храбров А.

Известно, что     и  x1 + x2 + ... + x6 = 0.  Докажите, что x1x2...x6 ≤ ½.


Решение

  Если среди чисел x1, x2, x6 нечётное число отрицательных или есть ноль, то неравенство очевидно.
  Пусть отрицательных чисел два или четыре. Меняя, если нужно, знаки у всех чисел, можно добиться того, что ровно два числа будут отрицательными (пусть это x1 и x2). Положим  yk = |xk|.  Тогда     и  y1 + y2 = y3 + y4 + y5 + y6.  Обозначим последнюю сумму через s . Тогда  
  Значит,     С другой стороны,     и     что следует из неравенства между средним арифметическим и средним квадратичным. Таким образом,  
  Стало быть,  s² ≤ 8  и  x1x2...x6 = y1y2...y6s6·4–5 ≤ 83·4–5 = ½.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2006
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 06.4.9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .