ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110066
Темы:    [ Квадратные уравнения и системы уравнений ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Храбров А.

Даны целые числа a, b и c,  c ≠ b.  Известно, что квадратные трёхчлены  ax² + bx + c  и  (c – b)x² + (c – a)x + (a + b)  имеют общий корень (не обязательно целый). Докажите, что  a + b + 2c  делится на 3.


Решение

  Вычитая из первого трёхчлена второй, получим, что они оба имеют общий корень с трёхчленом  (a + b – c)(x² + x – 1).  Следовательно, либо
a + b – c = 0,  либо их общий корень совпадает с одним из корней трёхчлена  x² + x – 1.
  В первом случае  a + b + 2c = 3c  кратно 3.
  Во втором случае пусть u – общий корень трёхчленов  ax² + bx + c = 0  и  x² + x – 1 = 0.  Тогда  au² + bu + c + c(u² + u – 1) = 0,  откуда
(a + c)u + (b + c) = 0.  Число u иррационально, поэтому полученное равенство возможно только если  a + c = 0  и  b + c = 0.  Отсюда  a = b = – c  и
a + b + 2c = 0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2001
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 01.4.10.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .