ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109882
Темы:    [ Итерации ]
[ Уравнения с модулями ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дана функция f(x) = | 4 - 4|x|| - 2 . Сколько решений имеет уравнение f(f(x)) = x ?

Решение

Пусть x0 – решение уравнения f(f(x)) = x , а y0 = f(x0) . Тогда и x0 = f(y0) , а потому точка с координатами (x0,y0) лежит на каждом из графиков y = f(x) и x =f(y) . Наоборот, если точка (x0,y0) лежит на пересечении этих графиков, то y0 = f(x0) и x0 = f(x0) , откуда f(f(x0)) = x0 . Тем самым показано, что число решений уравнения f(f(x)) = x совпадает с числом точек пересечения графиков y = f(x) и x = f(y) , а их 16 (см. рис.) .



Ответ

16.00

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1996
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 96.4.11.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .