ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 109795
УсловиеПусть IA и IB – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон BC и CA треугольника ABC соответственно, а P – точка на описанной окружности Ω этого треугольника. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных
окружностей треугольников IACP и IBCP, совпадает с центром окружности Ω. РешениеПусть M – середина отрезка IAIB . Поскольку биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны, AIA ⊥ AIB и BIA ⊥ BIB. Значит, точки IA и IB лежат на окружности с диаметром AB, поэтому ∠AIAB = ½ ∠AMB. Заметим, что ∠AIAB = ½ (180° – ∠B) – ½ ∠A = ½ ∠C, то есть ∠AMB = ∠C. Следовательно, точка M лежит на окружности Ω. Поскольку AM = BM, точка M является серединой дуги ACB этой окружности. Пусть IA', IB', M' – середины отрезков CIA, CIB, CM соответственно (см. рис.). Точки IA', IB', M' являются проекциями центров OA, OB, O описанных окружностей треугольников IACP, IBCP, ABC на прямую IAIB. Точки OA, OB, O лежат на серединном перпендикуляре к отрезку CP. Поэтому достаточно доказать, что M' является серединой отрезка IA'IB'. Но это верно, поскольку M – середина IAIB, а тройка точек IA', IB', M' получается из тройки IA, IB, M гомотетией с центром C и коэффициентом ½. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|