Задача 109720
|
|
 |
Условие
Совершенное число, большее 6, делится на 3. Докажите, что оно делится на 9.
Решение
Предположим, что совершенное число равно 3n, где n не кратно 3. Тогда все натуральные делители числа 3n (включая его самого) можно разбить на пары d и 3d, где d не делится на 3. Следовательно, сумма всех делителей числа 3n (она равна 6n) делится на 4. Значит, n чётно. Заметим, что числа 3n/2, n, n/2 – различные делители числа 3n, а их сумма равна 3n + 1 > 3n, откуда следует, что число 3n не может быть совершенным. Противоречие.
Замечания
Ср. с задачей 109712.
