Задача 109689

Темы:    [ Сфера, описанная около тетраэдра ] [ Касательные к сферам ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Автор: Терешин Д.А.

Через вершину A тетраэдра ABCD проведена плоскость, касательная к описанной около него сфере. Докажите, что линии пересечения этой плоскости с плоскостями граней ABC, ACD и ABD образуют шесть равных углов тогда и только тогда, когда  AB·CD = AC·BD = AD·BC.

Решение

  Проведём плоскость, параллельную касательной плоскости, пересекающую ребра AB, AC и AD в точках B₁, C₁ и D₁ соответственно. В плоскости ABC получим конфигурацию, изображенную на рисунке.

  Заметим, что  ∠ABC = ∠CAM  (по теореме об угле между касательной и хордой), а  ∠CAM = ∠AC₁B₁  (как накрест лежащие при параллельных и секущей), то есть  ∠ABC = ∠AC₁B₁.  Следовательно, треугольники AB₁C₁ и ACB подобны, откуда  B₁C₁ : BC = AB₁ : AC = AC₁ : AB.
  Аналогично  C₁D₁ : CD = AC₁ : AD = AD₁ : AC  и  B₁D₁ : BD = AD₁ : AB = AB₁ : AD.
  Из этих равенств вытекает, что  
  Значит, треугольник A₁B₁C₁ – равносторонний тогда и только тогда, когда  AB·CD = AC·BD = AD·BC.  Осталось заметить, что углы, образуемые указанными в условии линиями пересечения, соответственно равны углам треугольника B₁C₁D₁.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1999
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	99.5.11.7