ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109685
Темы:    [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Доказательство от противного ]
[ Линейные неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Во всех рациональных точках действительной прямой расставлены целые числа.
Докажите, что найдётся такой отрезок, что сумма чисел на его концах не превосходит удвоенного числа в его середине.


Решение

Предположим противное. Пусть A, B, C, An, Bn,  n = 1, 2, ...  – соответственно точки –1, 1, 0, – 2–n, 2–n числовой прямой, a, b, c, an, bn – целые числа, записанные в этих точках. Тогда  c < ½ (a + b),  a1 < ½ (a + c),  a2 < ½ (a1 + c),  и т.д. Отсюда следует, что  max{a, c} > a1.  Аналогично  max{a1, c} > a2,  max{a2, c} > a1,  max{b, c} > b1,  max{b1, c} > b2,  ...  Если  am > c,  то  c < am ≤ am–1 – 1 ≤ ... ≤ a – m,  что при  m ≥ a – c  невозможно. Поэтому при
m ≥ max{1, a – c, b – c}  получаем  am ≤ c,  bm ≤ c,  откуда  am + bm ≤ 2c,  что противоречит нашему предположению.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1999
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 99.5.11.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .