|
|
 |
Условие
Существуют ли 19 таких попарно различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр, что их сумма равна 1999?
Решение
Предположим, что такие 19 чисел существуют и сумма цифр каждого из чисел равна S = 9k + r, r ∈ {0, 1, ..., 8}. Тогда все эти числа имеют остаток r при делении на 9, и 19r = 18r + r = 1999 ≡ 1 (mod 9), откуда r = 1.
Пусть k = 0, то есть S = 1. Пять наименьших натуральных чисел с суммой цифр 1 – это 1, 10, 100, 1000 и 10000. Но даже их сумма больше 1999.
Пусть k = 1, тто есть S = 10. 19 наименьших натуральных чисел чисел с суммой цифр 10 – это 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91, 109, 118, 127, 136, 145, 154, 163, 172, 181, 190. Их сумма равна 1990 < 1999. Следующее натуральное число с суммой цифр 10 – это 208, что по крайней мере на 18 больше любого из первых 19 чисел, и значит, сумма будет не менее 1990 + 18 = 2008 > 1999.
Пусть k ≥ 2, то есть S ≥ 19. Но наименьшее число с суммой цифр не меньше 19 есть 199, а сумма любых 19 таких чисел будет заведомо больше 1999.
Ответ
Не существует.
