Задача 109654

Темы:    [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Храбров А.

Выпуклый многоугольник M переходит в себя при повороте на угол 90^o . Докажите, что найдутся два круга с отношением радиусов, равным , один из которых содержит M , а другой содержится в M .

Решение

Пусть O – центр поворота, R – наибольшее из расстояний от точки O до вершин многоугольника, A₁ – одна из вершин, такая, что OA₁=R . Если A₁ переходит при повороте в вершину A₂ , A₂ – в A₃ , A₃ – в A₄ , то, очевидно, A₁A₂A₃A₄ – квадрат с центром в точке O ; этот квадрат, очекидно, лежит в M . Отношение радиусов его вписанного и описанного кругов равно , при этом первый лежит в M , а второй содержит M по определению R , что и требовалось.
Справедливо следующее утверждение: если выпуклый многоугольник M переходит в себя при повороте на угол α ( α<180^o ), то найдутся два круга с отношением радиусов, равным 2, один из которых содержит M , а другой содержится в M . Попробуйте доказать его самостоятельно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1997
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	9
задача
Номер	97.5.9.2