Задача 109645
|
|
 |
Условие
Решите в целых числах уравнение (x² – y²)² = 1 + 16y.
Решение
Ясно, что y ≥ 0, откуда левая часть не меньше
(2y – 1)², так как модуль разности y² и любого точного квадрата (если y ≥ 0 и квадраты различны)
не меньше |2y – 1|. Итак, (2y – 1)² ≤ 1 + 16y, откуда y ≤ 5. Следовательно, правая часть может принимать значения 1, 17, 33, 49, 65, 81, из них квадратами являются только 1, 49, 81. Рассмотрим три случая.
1) y = 0, (x²)² = 1, откуда x = ±1.
2) y = 3, (x² – 9)² = 49, откуда x² = 16, то есть x = ±4.
3) y = 5, (x² – 25)² = 81, x² = 34 или 16, то есть x = ±4.
Ответ
(±1, 0), (±4, 3), (±4, 5).
