ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109544
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Признаки делимости на 11 ]
[ Метод спуска ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите наибольшее натуральное число, из которого вычеркиванием цифр нельзя получить число, кратное 11.


Решение

  Если в десятичной записи числа есть цифра 0 или две одинаковые цифры, то, вычеркнув остальные цифры, мы получим число, кратное 11. Значит, искомое число не более чем девятизначное, и все его цифры различны. Наибольшее из таких чисел – 987654321. Докажем, что оно удовлетворяет условию задачи.
  После вычеркивания цифр из числа 987654321 получится число вида  ak...a2a1,  в котором  ak > ... > a2 > a1.  Вычитая из него кратное 11 число  a1a1  и стирая нули в конце, получим число такого же вида. Продолжая, в конце концов получим однозначное число, которое не кратно 11. Значит, и исходное число не делилось на 11.


Ответ

987654321.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1993
Этап
Вариант 4
класс
Класс 10
задача
Номер 93.4.10.2
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1993
Этап
Вариант 4
класс
Класс 9
задача
Номер 93.4.9.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .