ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109526
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри окружности расположен выпуклый четырехугольник, продолжения сторон которого пересекают ее в точках A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 , D1 и D2 960. Докажите, что если A1B2=B1C2=C1D2=D1A2 , то четырехугольник, образованный прямыми A1A2 , B1B2 , C1C2 , D1D2 , можно вписать в окружность.

Решение

Пусть величины двух противоположных углов четырехугольников, образованного прямыми A1A2 , B1B2 , C1C2 и D1D2 , равны α и β . Нам достаточно показать, что α +β =π . Так как хорды A1B2 , B1C2 , C1D2 и D1A2 равны, то равны и угловые величины дуг A1D1B2 , B1A1C2 , C1B1D2 , D1C1A2 , которые мы обозначим через γ . Тогда по теореме о величине угла с вершиной вне круга

2α =A1D1B2-A2B1=γ -A2B1, 2β =C1B1D2-C2D1=γ -C2D1.

Сложив эти равенства, получим, что
2α +2β =2γ -(A2B1+C2D1)=2γ -(B1A1C2+D1C1A2-2π)=2π,

следовательно, α +β =π .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1993
Этап
Вариант 5
класс
Класс 9
задача
Номер 93.5.9.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .