ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109513
Темы:    [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В турнире по теннису n участников хотят провести парные (двое на двое) матчи так, чтобы каждый из участников имел своим противником каждого из остальных ровно в одном матче. При каких n возможен такой турнир?


Решение

  Пусть описанный в задаче турнир проведён. Тогда все противники одного теннисиста разбиваются на пары, поэтому n нечётно. Все возможные пары противников разбиваются на четвёрки пар, игравших в одном матче. Следовательно, число  ½ n(n – 1)  этих пар кратно 4, откуда  n – 1 = 8k.
  Докажем, что при любом натуральном k указанный турнир для  n = 8k + 1  участников возможен. При  k = 1  для описания турнира поставим в соответствие теннисистам вершины правильного девятиугольника A1A2...A9. На рисунке изображён матч пары  (A1, A2)  против пары  (A3, A5),  причём отрезками соединены противники.

  Поворачивая эту конструкцию из отрезков вокруг центра на углы, кратные /9, мы получим изображения для остальных восьми матчей. При этом каждая хорда вида AiAj используется ровно один раз, поскольку она равна в точности одной из хорд  A2A3, A1A3, A2A5 и A1A5.
  При  k > 1  выделим одного из  8k + 1  теннисистов, а остальных разобьём на k групп по 8 человек. Присоединяя выделенного теннисиста последовательно к каждой группе, проведём в них турниры по описанной выше схеме для 9 человек. Тогда останется только провести матчи между противниками из разных групп. Для этого достаточно разбить каждую группу на четыре команды по два человека и провести все возможные матчи между командами из разных групп.


Ответ

n = 8k + 1,  где  kN.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1993
Этап
Вариант 5
класс
Класс 11
задача
Номер 93.5.11.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .