ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109494
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Признаки делимости на 3 и 9 ]
[ Ребусы ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Номер нынешней олимпиады (70) образован последними цифрами года её проведения, записанными в обратном порядке.
Сколько еще раз повторится такая ситуация в этом тысячелетии?


Решение

  Пусть в каком-то году возникло описанное совпадение.
  Если номер олимпиады двузначный, то его сумма с числом, образованным последними двумя цифрами года, делится на 11 (сумма двух чисел, состоящих из цифр a и b, равна  11(a + b)).  Поскольку каждый год эта сумма увеличивается на 2, событие может повторяться не чаще, чем через 11 лет. И действительно, 81-я и 92-я олимпиады пройдут в 2018 и 2029 годах.
  Если номер олимпиады трёхзначный, то предпоследние цифры номера и года совпадают. Поэтому предпоследней цифрой их разности может быть только 0 или 9. Но разность года проведения олимпиады и ее номера всегда будет равна 1937. Противоречие.
  Если номер олимпиады четырёхзначный, то суммы цифр номера и года совпадают. Поскольку любое число даёт такой же остаток при делении на 9, что и сумма его цифр, разность года и номера должна делиться на 9. Но остаток при делении на 9 числа 1937 равен 2. Противоречие.

  Заметим, что и в дальнейшем такая ситуация наблюдаться не будет.


Ответ

Два раза.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 70
Год 2007
вариант
Класс 9
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .