ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109492
Темы:    [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ ГМТ - прямая или отрезок ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в O . X "– произвольная точка внутри треугольника ABC , такая, что XAB= XBC=ϕ , а P – такая точка, что PX OX , XOP=ϕ , причем углы XOP и XAB одинаково ориентированы. Докажите, что все такие точки P лежат на одной прямой.

Решение

Так как XAB= XBC , то все точки X лежат на одной окружности , проходящей через точки A и B . Опустим на прямую BP перпендикуляр OY . Из перпендикулярности PX и OX получаем, что точки Y , O , P , X лежат на одной окружности. Отсюда получаем равенства ориентированных углов BYX= PYX= POX= BAX . Значит, точка Y лежит на окружности. Поэтому все точки P лежат на прямой, проходящей через точку B и точку пересечения с окружностью, построенной на OB как на диаметре.

Ответ

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 70
Год 2007
вариант
Класс 10
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .