ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109460
Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Пятиугольники ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан набор одинаковых правильных пятиугольников, при вершинах каждого из которых записаны натуральные числа от 1 до 5, как показано на рисунке. Пятиугольники можно поворачивать и переворачивать. Их сложили в стопку (вершина к вершине), и оказалось, что при каждой из пяти вершин суммы чисел одинаковы. Сколько пятиугольников могло быть в этой стопке?


Решение

  Сложим в стопку два пятиугольника, перевернув при этом один из них, и совместим их следующими цифрами: 1-5, 2-4, 3-3, 4-2 и 5-1. Тогда мы получим стопку, удовлетворяющую условию. Назовём её "двойкой". Сложим в стопку пять пятиугольников, повёрнув их по отношению друг к другу так, чтобы совместились цифры 1-2-3-4-5, 2-3-4-5-1 и так далее. Тогда мы получим стопку, также удовлетворяющую условию. Назовём ее "пятёркой". Любое чётное количество пятиугольников в стопке можно получить, последовательно складывая "двойки". Любое нечётное количество пятиугольников, большее 3, можно получить из одной "пятёрки" и нужного количества "двоек".
  Заметим, что стопка из одного пятиугольника условию не удовлетворяет. Докажем, что нельзя составить стопку, удовлетворяющую условию, из трёх пятиугольников.

  Первый способ. В каждом пятиугольнике цифры, записанные при соседних вершинах, различаются либо на 1, либо на 4. Предположим, что в стопке из трёх пятиугольников суммы чисел, записанных при двух соседних вершинах, оказались равными, то есть  x1 + x2 + x3 = (x1 ± a1) + (x2 ± a2) + (x3 ± a3),  где слева записана сумма чисел при одной из вершин, а справа – сумма чисел при соседней вершине (ai может равняться только 1 или 4). Перебором убеждаемся в том, что это равенство верным быть не может (перебор можно сократить, используя идею чётности).

  Второй способ. Пусть суммы чисел при всех вершинах равны. Тогда в каждой из них эта сумма равна 9 (утроенное среднее арифметическое чисел от 1 до 5). Поэтому в одной вершине не могут стоять две пятёрки, то есть пятёрки "занимают" три вершины. Две из этих вершин (пусть A и B) обязательно являются соседними. В соседних с A вершинах должны стоять 4 и 1. Но 4 не может стоять в B (иначе сумма трёх чисел в В больше 9), значит, в B стоит 1. По той же причине и в A стоит 1. Значит, и в A, и в В стоят числа  {1, 3, 5},  причём тройки стоят в соседних вершинах одного пятиугольника. Противоречие.


Ответ

Любое натуральное число, кроме 1 и 3.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата 2007
класс
Класс 9
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .