Задача 109453
|
|
 |
Условие
Пусть α и β – острые углы такие, что sin2α + sin2β < 1 . Докажите, что sin2α + sin2β < sin2(α + β) .Решение
1) Так как α и β – острые углы, то значения всех тригонометрических функций этих углов положительны. Из условия следует, что sin2α < 1 - sin2 β= cos2β и sin2β < 1 - sin2α= cos2α . Тогда sinα < cosβ и sinβ < cosα , откуда sinα sinβ< cosα cosβ . Следовательно, cos(α+β)>0 и 0<α+β<90o .2) Рассмотрим разность между правой и левой частью доказываемого неравенства:
так как cos(α-β)> cos(α+β) (функция cos x на рассматриваемом промежутке убывает). Вторую часть доказательства можно провести иначе:
Последнее неравенство выполняется, следовательно выполняется и доказываемое неравенство.
