Задача 109452

Темы:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Определите, на какую наибольшую натуральную степень числа 2007 делится 2007!

Решение

2007 = 3²·223.  В разложении на простые множители числа 2007! показатель степени у числа 3 будет достаточно большим, так как множитель 3 входит в разложение каждого третьего числа. Множитель 223 входит только в разложение чисел вида 223р, где р – натуральное число, не превосходящее 9. Таким образом, в разложение числа 2007! на простые множители число 223 войдёт с показателем 9. Следовательно, число 2007! будет делиться на 2007⁹, но не будет делиться на 2007¹⁰.

Ответ

На девятую степень.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата	2007
класс
Класс	10
задача
Номер	3