Задача 109406

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сфера, описанная около пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды с высотой h и радиусом R описанной сферы.

Решение

Пусть O – центр сферы радиуса R , описанной около правильной шестиугольной пирамиды PABCDEF с вершиной P . Точка O лежит на прямой PM , где M – центр основания ABCDEF . По условию задачи PM = h . Обозначим AB = BC = CD = DE = EF = AF = a . Тогда AM = a . Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки A , P и D . Получим окружность радиуса R с центром O на прямой MP и вписанный в эту окружность равнобедренный треугольник APD . Продолжим отрезок PM за точку M до пересечения с окружностью в точке Q . Из прямоугольного треугольника APQ находим, что

AM2 = PM· MQ, или a2 = h(2R - h).
Следовательно,
V_PABCDEF = S_ABCDEF· PM = · · h =

= · h(2R - h)· h = h2(2R - h).

Ответ

h2(2R - h) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8496