ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109394
Темы:    [ Правильная пирамида ]
[ Сфера, описанная около пирамиды ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды с боковым ребром b и радиусом R описанной сферы.

Решение

Пусть O – центр сферы радиуса R , описанной около правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с боковыми рёбрами PA = PB = PC = PD = b . Точка O лежит на прямой PM , где M – центр основания ABCD , а т.к. точки A и P лежат на сфере, то O лежит также на серединном перпендикуляре к стороне AP треугольника APM . Обозначим AB = BC = CD = AD = a , APM = ϕ . Если K – середина AP , то

cos ϕ = = = , PM = AP cos ϕ = b· = ,


= AM = AP sin ϕ = b = b = ,


a = b· .

Следовательно,
VPABCD = SABCD· PM = a2· PM = (b· )2· = .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8484

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .