Условие
Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым
ребром
b и радиусом
R описанной сферы.
Решение
Пусть
O – центр сферы радиуса
R , описанной около правильной
треугольной пирамиды
ABCD с боковыми рёбрами
DA = DB = DC = b .
Точка
O лежит на прямой
DM , где
M – центр основания
ABC , а
т.к. точки
A и
D лежат на сфере, то
O лежит также на серединном
перпендикуляре к стороне
AD треугольника
ADM .
Обозначим
AB = BC = AC = a ,
ADM = ϕ . Если
K – середина
AD ,
то
cos ϕ = 
= 
= 
,
DM = AD cos ϕ = b· = 
,
= AM = AD sin ϕ = b
=
b
=
b 
,
a = 
.
Следовательно,
VABCD = 
SΔ ABC· DM =
· 
· DM =
= ()2
· 
· =
.
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8474 |
