Задача 109352

Темы:    [ Правильный тетраэдр ] [ Расстояние между скрещивающимися прямыми ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Объем помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В правильном тетраэдре ABCD с ребром a точка M – середина AB . Найдите угол и расстояние между прямыми AD и CM . В каком отношении общий перпендикуляр этих прямых делит отрезки CM и AD ?

Решение

Пусть E – середина AD , M' – ортогональная проекция точки M на плоскость BEC , перпендикулярную прямой AD . Тогда M' – середина BE (прямая AD перпендикулярна плоскости BEC , а MM' || AD ). Расстояние между прямыми AD и CM равно расстоянию от точки E до прямой CM' . Из прямоугольного треугольника CM'M находим, что

CM' = = = .
Обозначим CM'E = ϕ . По теореме косинусов из треугольника CM'E находим, что
cos ϕ = =

= = = > 0.
Тогда sin ϕ = = . Пусть P – основание перпендикуляра, опущенного из точки E на прямую CM' . Так как cos ϕ >0 , то ϕ < 90^o , поэтому точки M' и P лежат по одну сторону от прямой BE в плоскости BEC . Расстояние между прямыми AD и CM равно длине отрезка EP . Из прямоугольного треугольника EM'P находим, что
EP = EM' sin ϕ = · = a = .
Угол α между прямыми AD и CM дополняет до 90^o угол между пересекающимися прямыми CM и CM' . Поэтому
sin α = cos (90^o - α ) = = = .
Следовательно,
α = arcsin = arccos .
Из прямоугольного треугольника EM'P находим, что
PM' = EM' cos ϕ = · = .
Тогда
CP = CM' - PM' = a - a = .
Пусть XY – общий перпендикуляр прямых AD и CM (точка X лежит на AD , Y – на CM ). Тогда EXYP – прямоугольник, PY || MM' || AD . Значит,
= = = 10.


Обозначим = , = , = , DA = x , AB = y , BC = z , где x = y = z = a . Тогда
· = a2 cos 120^o = -, · = a2 cos 120^o = -, · = 0,

= + = - - ,

· = -(- - ) = · + · = -,

CM = = = = = .
Пусть α – угол между прямыми AD и CM . Тогда
cos α = = = .
Пусть XY – общий перпендикуляр прямых AD и CM (точка X лежит на AD , Y – на CM ), причём
= = - , = μ = -μ (- - ).
Тогда
= + + = + - (1-μ) =

= + + (μ-1)(- - ) = + (1 - μ) + (1 - μ).
Так как и , то · = 0 и · = 0 , или
(( + (1 - μ) + (1-μ))· =

= 2 + (1 - μ) · + (1 - μ)(· ) =

= a2 - (1 - μ)· + (1 - μ) · 0 = (2 - 1 + μ) = 0;

· = ( + (1 - μ) + (1 - μ ))· (- - ) =

= - (· ) - (1 - μ) (· ) - (1 - μ)· 2 -

- (· ) - (1 - μ)· 2 - (1 - μ) (· ) =

= (1 - μ)· - (1 - μ )· a2 + · a2 - (1 - μ) )· a2 + (1 - μ )a2 =

= -(μ - 1 + 2 - 2μ - + 1 - μ - + μ)=

= -(- - μ + ) = ( + 3μ - 3) = 0.
Из системы

находим, что = , μ = ( AX:XD = 3:8 , CY:YM = 10:1 ). Поэтому
= + (1 - μ) · + (1 - μ )· = + + .
Следовательно,
XY = = =

= =

= = = .


Пусть V – объём тетраэдра. Тогда
V= · · a = , V_ADMC = V = .
С другой стороны,
V_ADMC = AD· CM· d sin α,
где α – угол между прямыми AD и CM , а d – расстояние между ними. Пусть T – середина ребра BD . Тогда MT || AD , значит, угол между прямыми AD и CM равен углу CMT . Из треугольника CMT по теореме косинусов находим, что
cos α = cos CMT = .
Тогда sin α = . Следовательно,
d= = = a.

Ответ

arccos = arcsin ; ; CY:YM = 10:1 ; AX:XD = 3:8 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8411