Задача 109344

Темы:    [ Параллельное проектирование ] [ Параллелепипеды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 проведён отрезок, соединяющий вершину A с серединой ребра CC1 . В каком отношении этот отрезок делится плоскостью BDA1 ?

Решение

При параллельном проектировании параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 на плоскость грани AA1B1B с проектирующей прямой AD данный параллелепипед перейдёт в параллелограмм AA1B1B , середина M ребра CC1 перейдёт в середину M' отрезка BB1 , точка P пересечения диагоналей грани ABCD – в середину P' стороны AB , точка K пересечения отрезка AM с плоскостью BDA1 – в точку K' отрезка A1P' , соединяющего вершину A1 параллелограмма AA1B1B с серединой стороны AB . Пусть прямые A1P' и BB1 пересекаются в точке F . Тогда

BF = AA1, FM' = BF + BM' = AA1 + AA1 = AA1.
Из подобия треугольников AK'A1 и M'K'F находим, что
AK':K'M' = AA1:FM' = AA1:AA1 = 2:3.
Следовательно,
AK:KM = AK':K'M' = 2:3.

Ответ

2:3, считая от точки A .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8403