Задача 109338

Темы:    [ Конус ] [ Сферы (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите радиус сферы, вписанной в конус с радиусом основания r и высотой h.

Решение

Пусть R ─ искомый радиус, O ─ центр сферы. Рассмотрим сечение конуса и вписанной в него сферы плоскостью, проходящей через высоту PM конуса. Получим равнобедренный треугольник APB с основанием AB = 2r и высотой PM = h и вписанную в него окружность радиуса R с центром O. Точка O лежит на биссектрисе прямоугольного треугольника AMP, причём OM = R. По свойству биссектрисы треугольника OM : OP = AM : AP, или

R h − R

=

r √ h² + r²

.

Из полученного уравнения находим, что

R =

hr r + √ h² + r²

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8377