Задача 109337

Темы:    [ Конус ] [ Сферы (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите радиус сферы, описанной около конуса с радиусом основания r и высотой h.

Решение

Пусть R ─ искомый радиус. Рассмотрим сечение конуса и описанной около него сферы плоскостью, проходящей через высоту PM конуса. Получим равнобедренный треугольник APB с основанием AB = 2r и высотой PM = h и описанную около него окружность радиуса R. Продолжим PM за точку M до пересечения с окружностью в точке P₁. Поскольку PP₁ ─ диаметр окружности, то треугольник PAP₁ ─ прямоугольный, а AM ─ его высота, опущенная на гипотенузу PP₁. Значит, AM² = PM · P₁M, или
r² = h(2R − h). Из полученного уравнения

находим, что R =

h² + r² 2h

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8376