Задача 109257

Темы:    [ Объем помогает решить задачу ] [ Сфера, вписанная в тетраэдр ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В треугольной пирамиде ABCD грани ABC и ABD имеют площади p и q и образуют между собой угол α . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро AB и центр вписанного в пирамиду шара.

Решение

Докажем сначала следующее утверждение: если V – объём тетраэдра ABCD , p и q – площади граней ABC и ABD , α – угол между этими гранями, то V = · . Если DH – высота тетраэдра, опущенная на основание ABC , а HM – перпендикуляр, опущенный из точки H на AB , то по теореме о трёх перпендикулярах DH AB , значит, DMH – линейный угол двугранного угла тетраэдра при ребре AB . Поэтому DMH = α . Тогда

V=V_ABCD = S_{Δ ABC}· DH = p· DM sin α = p· · sin α= · .
Что и требовалось доказать. Обозначим через S площадь сечения ABK . Тогда из доказанного утверждения следует, что
V_ABCD = · .
С другой стороны, поскольку секущая плоскость проходит через центр O шара, вписанного в двугранный угол между гранями ABC и ABD , центр шара лежит в биссекторной плоскости этого угла, поэтому
V_ABCD = V_CABK + V_DABK = · + · = ·
Из уравнения
· = ·
находим, что
S = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8046