Задача 109234

Темы:    [ Прямая призма ] [ Площадь сечения ] [ Объем призмы ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В основании прямой призмы лежит равносторонний треугольник. Плоскость, проходящая через одну из сторон нижнего основания и противоположную вершину верхнего, наклонена к плоскости нижнего основания под углом ϕ . Площадь этого сечения равна Q . Найдите объём призмы.

Решение

Пусть M середина стороны AB основания ABC правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 . Тогда CM AB и C1M AB , поэтому CMC1 – линейный угол двугранного угла между плоскостью основания ABC и секущей плоскостью ABC1 . По условию задачи CMC1 = ϕ . Обозначим через a сторону равностороннего треугольника ABC . Тогда CM = . Из прямоугольного треугольника CMC1 находим, что

CC1 = CM tg CMC1 = · tg ϕ, C1M = = .
Из уравнения a· = Q находим, что a=2 . Следовательно,
V_ABCA1B1C1 = S_{Δ ABC}· CC1 = · · tg ϕ=

=a3 tg ϕ = · · · tg ϕ = Q sin ϕ.

Ответ

Q sin ϕ .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7932