ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109196
Темы:    [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Периодические и непериодические дроби ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В числе  a = 0,12457...  n-я цифра после запятой равна цифре слева от запятой в числе    Докажите, что α – иррациональное число.


Решение

Пусть это не так: 0,12457... – периодическая десятичная дробь с длиной периода m (и неким предпериодом). Тогда цифры, стоящие на местах с номерами m, 10m, 100m, ..., 10km, ..., совпадают (для номеров, больших длины предпериода). В то же время это – последовательные цифры десятичного разложения иррационального числа    (то есть непериодической дроби). Противоречие.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 28
Дата 2006/2007
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .