ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109188
Темы:    [ Правильные многоугольники ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Площадь круга, сектора и сегмента ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Вокруг правильного семиугольника описали окружность и вписали в него окружность. То же проделали с правильным 17-угольником. В результате каждый из многоугольников оказался расположенным в своем круговом кольце. Оказалось, что площади этих колец одинаковы. Докажите, что стороны многоугольников одинаковы.


Решение

Пусть 2a – длина стороны правильного многоугольника, r и R – радиусы вписанной и описанной окружности соответственно. Вписанная окружность касается стороны в её середине, поэтому проведённый туда радиус перпендикулярен стороне. По теореме Пифагора  a² + r² = R².  Поэтому площадь кольца между этими окружностями равна  π(R² – r²) = πa²,  откуда и следует утверждение задачи.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2287
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 28
Дата 2006/2007
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .