ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109019
Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Арифметическая прогрессия ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из таблицы

выбраны a чисел так, что никакие два из выбранных чисел не стоят в одной строке или в одном столбце таблицы. Вычислить сумму выбранных чисел.


Решение

Представим нашу таблицу как сумму двух таблиц:

Выбранные числа также "распадутся" в суммы соответствующих чисел в этих двух таблицах. При этом в первой таблице сумма соответствующих чисел равна  0 + a + 2a + ... +(a – 1)a = ½ a²(a – 1)  (так как числа расположены по одному в каждой строке), а во второй –  1 + 2 + ... + a = ½ a(a + 1)  (так как числа расположены по одному в каждом столбце). Общая же сумма равна  ½ a²(a – 1) + ½ a(a + 1) = ½ a(a² + 1).


Ответ

½ a(a² + 1).

Замечания

Ср. с задачей 97957.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название 15-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год 1965
Номер 15
Задача
Название Задача 10.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .