ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109014
Темы:    [ Наибольшая или наименьшая длина ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]
[ Построения с помощью вычислений ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Провести хорду данной окружности, параллельную данному диаметру, так, чтобы эта хорда и диаметр были основаниями трапеций с наибольшим периметром.

Решение

Рассмотрим вписанную в круг трапецию ABCD , одним основанием которой является диаметр круга, и найдем выражение для ее периметра через радиус круга и боковую сторону (рис.). Затем исследуем, при каком условии это выражение будет максимальным. Введем обозначения: AB=CD=x (трапеция, вписанная в круг, всегда равнобедренная), BC=2y, AD=2R, AB+BC+CD+DA=2p . Опустим перпендикуляры BK AD, CM AD, AK=MD, BC=KM , AK=(AD-BC)/2, AK=(2R-2y)/2=R-y . Так как угол ABD опирается на диаметр, то он прямой. Из прямоугольного треугольника ABD можем выразить катет AB через гипотенузу и его проекцию на гипотенузу: AB2=AD· AK , т. е. x2=2R(R-y) . Найдем отсюда выражение для основания BC=2y через боковую сторону x : y=(2R2-x2)/2R . Периметр трапеции 2p=2x+2y+2R будет достигать максимального значения тогда же, когда и полупериметр p=x+y+R . Поэтому выразим полупериметр трапеции через x и R . p=x+(2R2-x2)/2R+R=(2Rx+4R2-x2)/2R . Поскольку знаменатель этого выражения постоянен, то максимум достигается при максимальном значении числителя, представляющего собой квадратный трёхчлен относительно x . Его старший коэффициент отрицателен, следовательно, трёхчлен имеет максимальное значение, не имея минимума. Как известно, максимума квадратный трёхчлен достигает в точке с абсциссой x=-b/2a , где a – старший коэффициент, b – коэффициент при первой степени аргумента. В нашем случае a=-1, b=2R . Поэтому x=-2R/(2(-1))=R . Итак, трапеция максимального периметра, вписанная в круг радиуса R , одним основанием которой является диаметр круга, должна иметь боковую сторону, равную радиусу. Отсюда вытекает построение.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название 14-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год 1964
Номер 14
Задача
Название Задача 9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .