Задача 108959

Темы:    [ Вневписанные окружности ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Вневписанные окружности касаются сторон AB и AC треугольника ABC в точках P и Q соответственно. Точка L – середина PQ, точка M – середина BC. Точки L₁ и L₂ симметричны точке L относительно середин отрезков BM и CM соответственно. Докажите, что  L₁P = L₂Q.

Решение

  Как известно,  BP = CQ  (см. задачу 55483).  Положим = b,  = c.  Точки L и M – середины отрезков PQ и BC, поэтому   = ½ (b + c).  Отрезки BL₁ и CL₂ равны и параллельны отрезку LM.
  Вектор    равен полусумме равных по модулю векторов b и c, значит, он образует равные углы с этими векторами (диагональ ромба делит его угол пополам), то есть параллелен биссектрисе угла BAC. Поэтому и прямые BL₁ и CL₂ образуют равные углы с прямыми AB и AC соответственно. Следовательно,  ∠PBL₁ = ∠QCL₂.  Треугольники PBL₁ и QCL₂ равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно,  PL₁ = QL₂.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6349