Докажите, что в любом графе
  а) сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер (и следовательно, чётна);
  б) число вершин нечётной степени чётно.

   Решение

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что образ ортоцентра треугольника при симметрии относительно середины стороны, лежит на описанной окружности треугольника.

Решение

Пусть H – ортоцентр треугольника ABC , L – середина стороны AC , O – центр описанной окружности, H' – точка пересечения прямых BO и HL . Поскольку расстояние от ортоцентра треугольника до его вершины вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до стороны, противоположной этой вершине, OL = BH , а т.к. OL || BH , то OL – средняя линия треугольника BHL' . Значит, O – середина отрезка BL' . Следовательно, BL' – диаметр окружности, т.е. точка L' лежит на описанной окружности треугольника ABC .

Источники и прецеденты использования