Задача 108948

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. На отрезке A₁C₁ выбрали такие точки A₂ и C₂, что отрезок B₁A₂ делится высотой CC₁ пополам и пересекает высоту AA₁ в точке K, а отрезок B₁C₂ делится высотой AA₁ пополам и пересекает высоту CC₁ в точке L. Докажите, что KL || AC.

Также доступны документы в формате TeX

Решение

Пусть K₁ и L₁ – середины отрезков B₁C₂ и B₁A₂. По условию точка K₁ лежит на отрезке AA₁, а точка L₁ – на отрезке CC₁. Высоты остроугольного треугольника лежат на биссектрисах его ортотреугольника (см. задачу 52866), поэтому медиана A₁K₁ треугольника A₁B₁C₂ является его биссектрисой. Поэтому треугольник A₁B₁C₂ – равнобедренный, и A₁K₁ – его высота, а значит, KK₁ – высота треугольника KB₁L. Аналогично LL₁ – высота того же треугольника. Поскольку высоты треугольника пересекаются в одной точке, то третья высота треугольника KB₁L лежит на прямой BB₁. Значит,  KL ⊥ BB₁  и  AC ⊥ BB₁.  Следовательно,  KL || AC.

Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6299