|
|
 |
Условие
На биссектрисе угла A треугольника ABC внутри треугольника нашлась такая точка L, для которой ∠LBC = ∠LCA = ∠LAB.
Докажите, что длины сторон треугольника образуют геометрическую прогрессию.
Решение
Обозначим ∠LBC = ∠LCA = ∠LAB = α.
Первый способ. Заметим, что α < 90° (так как 2α < 180°). На продолжении отрезка AL за точку L отметим такую точку P, что PC = CA. Тогда
∠ACP = 180° – 2α = ∠C + ∠B > ∠C.
Значит, точки P и A лежат по разные стороны от прямой BC. Кроме того, ∠PCB = ∠ACP – ∠C = ∠B.
Поскольку ∠CPL = ∠CAL = ∠LBC, точки B, P, L и C лежат на одной окружности. Поэтому ∠CBP = ∠PLC = ∠LAC + ∠LCA = 2α. Значит, треугольники BPC и ACB подобны по двум углам.
Следовательно, CB : AB = CP : BC = AC : CB, то есть длины сторон AB, CB и AC образуют геометрическую прогрессию.
Второй способ. Пусть ∠LCB = δ. Тогда CLB = 180° – α – δ. Применяя теорему синусов к треугольникам LBC, LCA и ABC получим, что Значит,
Следовательно, длины сторон AB, BC и AC образуют геометрическую прогрессию.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 6260 |
