ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108909
Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]
[ Биссектриса делит дугу пополам ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дана окружность Ω и точка P вне её. Проходящая через точку P прямая l пересекает окружность в точках A и B. На отрезке AB отмечена такая точка C, что  PA·PB = PC². Точки M и N – середины двух дуг, на которые хорда AB разбивает окружность Ω. Докажите, что величина угла MCN не зависит от выбора прямой l.


Решение

  Будем считать, что точка A лежит на отрезке PB. Проведём из точки P касательные PK и PL к Ω (K и L – точки касания).
PK² = PL² = PA·PB = PC².  Значит,  PK = PL = PC,  то есть точки K, L и C лежат на окружности с центром P и радиусом PL.
  Пусть прямая KC пересекает окружность Ω в точке M'. Обозначим  ∠PKA = α,  ∠PCK = ∠PKC = β . Тогда  ∠ABK = ∠AKP = α,
AKC = ∠PKC – ∠AKP = β – α.
  С другой стороны,  ∠BKC = ∠PCK – ∠KBC = β – α.
  Значит, прямая KC – биссектриса угла BKA и поэтому пересекает дугу AB в её середине M. Аналогично прямая LC проходит через точку N. Таким образом, ∠MCN = ∠KCL = ½ (360° – ∠KPL),  а величина угла KPL не зависит от выбора прямой l.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6259

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .