Задача 108892

Темы:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На меньшей дуге AC описанной окружности остроугольного треугольника ABC выбрана точка D . На стороне AC нашлась такая точка E , что DE=AE . На прямой, параллельной AB , проходящей через точку E , отмечена точка F , причём CF=BF . Докажите, что точки D , E , C и F лежат на одной окружности

Решение

Обозначим BAC = α , ABC = β . Рассмотрим случай, изображенный на рисунке. Пусть прямая EF пересекает сторону BC в точке K , O – центр описанной окружности треугольника ABC , M – середина стороны BC . Поскольку CF=BF , точки O , F и M лежат на серединном перпендикуляре к отрезку BC , а т.к. EK || AB , то

EKC = ABC = β.
Тогда
OFE = KFM = 90^o-β.
С другой стороны, центральный угол AOC вдвое больше вписанного угла ABC , поэтому
OCE = OCA = (180^o - AOC)= (180^o - 2β) = 90^o-β = OFE.
Таким образом, из точек F и C , лежащих по одну сторону от прямой OE , отрезок OE виден под одним и тем же углом. Следовательно, точки E , O , F и C лежат на одной окружности. Обозначим её S1 . Пусть CED = ϕ . Поскольку CED – внешний угол равнобедренного треугольника AED , CAD = . Тогда центральный угол COD вдвое больше вписанного угла CAD , т.е.
COD = 2 CAD = ϕ.
Таким образом, из точек E и O , лежащих по одну сторону от прямой CD , отрезок CD виден под одним и тем же углом. Значит, точки C , D , E и O лежат на одной окружности. Обозначим её S2 . Осталось заметить, что окружности S1 и S2 совпадают, т.к. каждая из них проходит через три точки E , O и C , не лежащие на одной прямой. Остальные случаи рассматриваются аналогично.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6241